*Felix Weber ist Wissenschaftsjournalist in Zürich

1 Strich

10 Schlinge zum Anbinden der Tiere

100 Schiffstau

1000 Lotusblume

100 000 Kaulquappe

1 000 000 Gott der Ewigkeit

Ägyptische Zahlhieroglyphen

Waren Nofretete oder der legendäre Pharao Echnaton Computerspezialisten? Man könnte es fast glauben, wenn man die Mathematik der alten Ägypter analysiert: Sie rechneten nach Methoden, die jetzt, Jahrtausende später, wieder zum Zug kommen - in Mikroprozessoren!

Über 3500 Jahre lag ein fünf Meter langer, altägyptischer Papyrus unter den Ruinen eines kleinen Gebäudes in Theben. Entdeckt wurde das Dokument aus der Pharaonenzeit erst in der Mitte des letzten Jahrhunderts. Als Wissenschaftler den hieratischen Text zu entziffern begannen, staunten sie: Der nach seinem ersten Besitzer benannte Papyrus Rhind widmet sich der Mathematik; er beschreibt ausführlich die Rechentechnik der alten Ägypter.

Die Schriftrolle zeigt, daß die Ägypter das Einmaleins sehr gut beherrschten, obschon die Rechenmethoden verschieden sind von jenen, die wir auf der Schule lernen. Und das ist gerade das Interessante: Die ägyptische Rechentechnik paßt nämlich haargenau zur digitalen Computertechnik! Der 3500 Jahre alte Papyrus entpuppt sich damit - Erich von Däniken läßt grüßen - als veritables Zeugnis der Zukunft. daß man einige Konzepte der modernen Computerei in einem so alten Handbuch nachlesen kann, wissen allerdings nur wenige Informatiker.

Die Ägypter kannten die natürlichen Zahlen von 1 bis 1000 000 und die zugehörigen Brüche 1/2, 1/3, 1/4 usw. - die selben Zahlen also, mit denen umzugehen wir in der Schule lernen. Aber - und das ist das Erstaunliche - sie rechneten nicht wie wir im Zehnersystem sondern im gleichen Zweiersystem, das die moderne Computerei überhaupt erst ermöglicht hat.

Wie das funktioniert, sieht man am einfachstem bei der Multiplikation. Um "von Hand" beispielsweise 5 x 19 zu rechnen, multiplizieren wir erst 5 x 9 und erhalten 45. Die 5 schreiben wir hin, die 4 behalten wir im Kopf. Dann nehmen wir mit der 1 die nächste Zehnerstelle in Angriff, rechnen also 5 x 1 = 5 und addieren die 4 von vorhin, was eine 9 ergibt. Die beiden Zwischenergebnisse (9 und 5) werden nun zum Resultat 95 zusammengesetzt.

Die Ägypter rechneten 5 x 19 ganz anders: Statt die Zahl 19 für die Multiplikation auseinanderzunehmen, ließen sie sie als Ganzes stehen und verwendeten dafür eine entsprechende Folge von Verdoppelungen und Additionen: Eine Verdoppelung von 19 ergab das Zwischenresultat 38 (= 2 x 19). Nun verdoppelte der ägyptische Mathematiker das Zwischenresultat und erhielt 76

( = 2 x 38 = 4 x 19). Damit war er fast am Ziel - es fehlte lediglich eine letzte Addition: 5 x 19 = 4 x 19 + 19 = 76 + 19 = 95.

Nun mag dieser Methodenvergleich ziemlich müßig erscheinen: Für einen menschlichen Rechner jedenfalls sind ja beide Verfahren etwa gleich umständlich. Für eine Maschine hingegen - vor allem für einen digitalen Rechner - ist die "ägyptische" Multiplikation der "normalen" haushoch überlegen. Das liegt daran, daß im Computer, wo die Zahlen im binären Zweiersystem dargestellt werden, Verdoppelungen besonders einfach sind: Die Maschine braucht bloß die zugehörigen Bits um eine Position nach links zu schieben.

Die Zahl 19 sieht binär geschrieben so aus: 10011 (siehe Kasten "Binär ist nicht schwer" auf Seite 30). Verschiebt man diese Ziffernfolge um eine Position nach links, so erhält man 100110, oder übersetzt in unser gewohntes Zehnersystem die Zahl 38.

Die Rechnung 5 x 19 kann man mit dem Computer in drei Schritten vollziehen:

1) Man verdoppelt die binäre Zahl 10011 (= 19) durch Schieben nach links und erhält 100110 ( = 38).

2) Eine weitere Verdoppelung ergibt 1001100 (= 76).

3) Eine Addition von 10011 (= 19) liefert das Schlußresultat 1011111 (= 95).

Am übersichtlichsten ist es, wenn man sich bei solchen Rechnungen ein Schema mit der Verdoppelungsfolge aufschreibt, wie das die Ägypter auf ihrem Papyrus gemacht haben. Bei 13 x 19 zum Beispiel lautet die Folge

/ 1 19

/ 2 38

/ 4 76

/ 8 152

Wenn man die hier mit einem Schrägstrich "/" markierten Zwischenresultate (also 1 x 19 = 19, 4 x 19 = 76, 8 x 19 = 152) addiert, erhält man das Endresultat

13 x 19 = 247.

Das Verfahren funktioniert auch bei der Division, wie ebenfalls im Papyrus Rhind beschrieben wird. Zur Illustration ein Beispiel: Die Zahl 71 soll durch 7 dividiert werden.

Die Rechenvorschrift für diese Aufgabe ist einfach: Man muß bestimmen, wie oft der Divisor 7 im Dividenden 71 Platz hat. In einem ersten Schritt wird die 7 so oft verdoppelt, bis die Zahl 71 überschritten wird:

1 7

2 14

4 28

8 56

16 112

16 x 7 = 112 ist größer als 71, also bricht man hier die Verdoppelungsfolge ab. Nun sucht man in absteigender Reihenfolge jene Zwischenresultate, deren Summe der Zahl 71 am nächsten kommt.

8 x 7 = 56 gehört sicher dazu. Das nächstkleinere Zwischenresultat, 4 x 7 = 28, kommt hingegen nicht in Frage, denn die Summe von 56 und 28 ist wieder größer als 71. Dafür geht 2 x 7 = 14, denn 56 + 14 = 70. Jetzt haben wir also (8 x 7) + (2 x 7) = 10 x 7 = 70. Als Rest bleibt die Differenz von 70 zu 71, also 1. Das Resultat lautet 71:7 = 10, Rest 1, oder 71:7 = 10 1/7.

Mehr aIs eine bloße Sophisterei

Jetzt wird sich bestimmt mancher fragen, was denn all diese komplizierten Spitzfindigkeiten für eine Bedeutung haben - schließlich kann man dem Computer ja befehlen, er solle multiplizieren oder dividieren, und er erledigt das Gewünschte im Bruchteil einer Sekunde. Tatsächlich sind die entsprechenden Befehle integrierender Bestandteil der meisten modernen Computersprachen.

Nun sind aber die Anforderungen in puncto Rechengeschwindigkeit in den letzten Jahren so stark gestiegen - der Appetit kommt bekanntlich mit dem Essen - , daß die Computerspezialisten nach neuen Mitteln und Wegen suchten, wie man aus den schnellen Rechenkünstlern noch mehr herausholen könnte. Dabei haben sie entdeckt, daß gewisse Befehle, die die heutigen Computer verstehen, purer Luxus sind - ein Luxus, den der Benützer mit einer Leistungseinbuße seiner Maschine bezahlen muß.

Zu den entbehrlichen Computerbefehlen gehören erstaunlicherweise auch Instruktionen, die jahrzehntelang als absolut fundamental betrachtet wurden: zum Beispiel der Multiplikationsbefehl.

Konsequenterweise müßten Computer also wieder einfacher werden - und das ist bei einigen neueren Modellen tatsächlich der Fall. Das Ganze segelt unter dem Kürzel RISC (Reduced Instrustion Set Computing; Computerei mit reduziertem Befehlssatz). Daß das kein bloßer Modetrend ist, zeigt die Tatsache, daß Hersteller wie Sun Microsystems und Hewlett-Packard (HP) mit solchen

Maschinen bereits auf dem Markt sind. Die Minicomputerserie "Spectrum" von HP zum Beispiel kommt ohne einen speziellen Multiplikationsbefehl aus. Natürlich können die schnellen Rechner trotzdem multiplizieren, aber sie tun das nicht wie "normale" Computer, sondern eben auf ägyptisch.

Von der Probierlösung zum richtigen Resultat

Der 3500 Jahre alte Papyrus Rhind beschreibt nicht nur Methoden für die Multiplikation und Division, sondern auch Ansätze zu Techniken, die in einem modernen Spezialzweig der Mathematik, in der sogenannten Numerik, wieder zum Zug kommen. Es geht dabei um die Lösung von Gleichungen mit Näherungsmethoden.

Ein Beispiel für diese Methode ist die Aufgabe Nummer 26 im Papyrus Rhind (siehe Bild). Übersetzt in die heutige mathematische Notation sieht diese Aufgabe wie folgt aus:

Löse die Gleichung x + x/4 = 15 nach der Unbekannten x auf!

Nun soll der Mathematiker eine Probierlösung in die Gleichung einsetzen und schauen, was dabei herauskommt: Versuch es mit der Probierlösung x = 4!

Das Ergebnis wird vorgerechnet: Dann erhältst du x + x0/4 = 4 + 4/4 = 5.

Ein Vergleich mit der Ausgangsgleichung bestimmt das weitere Vorgehen. Weil hier rechts vom Gleichheitszeichen 5 steht statt 15, liegt es nahe, den Versuch mit einer 3 mal größeren Probierlösung zu wiederholen:

Vergleiche die Zahl 5, die du erhalten hast, mit der Zahl 15, die du erhalten solltest. Um 15 zu bekommen, mußt du 5 mit 3 multiplizieren. Also mußt du für den zweiten Versuch deine Probierlösung 4 auch mit 3 multiplizieren. Die neue Probierlösung 12 ist auch die richtige Lösung.

Der Grund dafür, daß die Methode so schnell zum Ziel führte, liegt darin, daß die Ausgangsgleichung linear ist. Die einzige Unbekannte x wird nur mit fixen Zahlen 1 und 1/4 multipliziert. Bei linearen Gleichungen - die Ägypter kannten nur solche - ist man stets nach einem einzigen Schritt am Ziel.

Vollblutpraktiker mit guter Spürnase

Die alten Ägypter brauchten die Geometrie - wie ihre Arithmetik - zu rein praktischen Zwecken. Sie berechneten damit die Fläche von Feldern oder die Größe von Gebäuden oder Pyramiden.

Das erstaunlichste dabei ist wohl die Tatsache, daß die Ägypter eine Formel kannten, mit der sie Kreisflächen berechnen konnten. Wenn man diese Formel mit der heutigen exakten Formel vergleicht, so stellt man fest, daß man damit Kreisflächen so genau berechnen kann, daß der Fehler bloß 0,6 Prozent beträgt. Das entspricht einer Kreiszahl "pi" von 3,16 statt 3,14.

Wie die Ägypter diese Formel, nämlich F = (8/9 x D)2, fanden, steht nicht im Papyrus Rhind (D ist der Kreisdurchmesser). Man vermutet aber, daß der Erfinder sie aus Volumenberechnungen gewann, weil solche im Papyrus vor den Flächenberechnungen vorkommen. Wahrscheinlich ging er von einem zylindrischen Gefäß aus, dessen Durchmesser 9 Einheiten betrug (Die Zahl 9 hatte bei den Ägyptern eine spezielle Bedeutung, da sie eine Gruppe von Gottheiten repräsentierte). Dann konstruierte er Gefäße mit verschieden großen quadratischen Böden, die alle gleich hoch waren wie der Zylinder. Diesen füllte er mit Wasser und probierte aus, in welchem der Gefäße das Wasser möglichst genau Platz hatte. Weil das Wasser aus dem Zylinder mit Durchmesser 9 das Gefäß mit Bodenseite 8 fast genau füllte, hat also ein Kreis vom Durchmesser 9 fast dieselbe Fläche wie ein Quadrat mit Seitenlänge 8, nämlich 8 x 8 = 64. Die genaue Berechnung mit der heutigen Formel F = R2 x "pi" ergibt 63,61.

Die Tatsache, daß die ganzen Zahlen 9 und 8 eine so gute Näherung ergaben, ist ein glücklicher Zufall. Angespornt durch diesen Erfolg, zog der

ägyptische Mathematiker den Schluß, daß man ganz allgemein Kreisflächen berechnen kann, indem man 1/9 des Durchmessers von diesem subtrahiert und dann diese Zahl (also 8/9 des Durchmessers) mit sich selbst multipliziert.

Solche Verallgemeinerungen sind natürlich gefährlich und müssen jeweils nachträglich überprüft werden. Einen Beweis der Formel findet man im Papyrus Rhind allerdings nicht. In diesem Fall hatte aber der ägyptische Mathematiker intuitiv den richtigen Schluß gezogen: Seine Formel läßt sich in der Tat auf beliebige Kreise anwenden. Mathematische Methoden aus der Pharaonenzeit helfen also mit, daß moderne Computer effizienter rechnen. Hätte es solche Rechner bereits vor 3500 Jahren gegeben, wäre umgekehrt den alten Ägyptern einiges leichter gefallen: Sie hätten ihre Hieroglyphen statt in mühevoller kalligraphischer Kleinarbeit viel bequemer und schneller schreiben können - mit computergesteuerten Geräten, wie sie heute gebraucht werden, um Texte in mittelägyptischer Sprache zu drucken oder zu setzen. Noch vor wenigen Jahren war dies nur mit sehr teuren Typen möglich.

Ägyptologen speichern im Computer nicht nur die mehr als 760 verschiedenen Hieroglyphen ab, sondern ganze Wörterbücher, die sich sehr rasch abfragen lassen. Das "Blättern im Buch" besorgt ebenfalls die Maschine.

Verschiedentlich wurde schon versucht, Schrifterkennungsprogramme für unsere westliche Schnurschrift zu entwickeln.

Die Schwierigkeiten sind dabei enorm, da wir ja die einzelnen Zeichen nicht eindeutig trennen und auch die Buchstaben nicht immer deutlich erkennbar sind. Ägyptische Schriften haben diese Nachteile nicht. Die einzelnen Hieroglyphen stehen voneinander getrennt und sind so verschieden, daß sie ein entsprechend programmierter Leseautomat ohne weiteres identifizieren könnte. Damit geht vielleicht bald ein Traum der Ägyptologen in Erfüllung: eine Maschine, die Hieroglyphentexte lesen und dank eingebautem Wörterbuch auch übersetzen kann, das Ganze speichert und anschließend in der gewünschten Form zu Papier bringt. Oben das Original, unten die Übersetzung.

Sollten sich eines Tages die Mumien im ägyptischen Museum in Kairo in ihren Jahrtausende alten Tüchern stöhnend drehen, weiß man, daß es soweit ist. +